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2024

2024 AMC12 真题及解析2024 AMC12 Paper & Solutions 精选Pick A卷Paper A

25 题完整解析，重点标注难度等级与考点分布。特色题：立体图形展开图、环形排列问题。25 complete solutions with difficulty tags and topic distribution. Features: 3D unfolding, circular arrangements.

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25 道选择题25 Questions
75 分钟限时75 Minutes
满分 150 分Max Score 150
不可用计算器No Calculator
Exam Overview

考试概览Exam Overview

立体图形展开图和环形排列问题是本年亮点。This exam emphasizes multiple math topics. Overall difficulty is moderate.

D难度分布Difficulty

  • Easy 基础Easy第 1-10 题Q1-10
  • Medium 中等Medium第 11-20 题Q11-20
  • Hard 较难Hard第 21-25 题Q21-25

T考点分布Topics

  • 代数Algebra35%
  • 几何Geometry35%
  • 数论Number Theory15%
  • 组合Combinatorics15%

A奖项分数线Awards

DHR 卓越荣誉奖AIME Qualification
AIME Qualification (Top 2.5%)
85+
HR 荣誉奖Honor Roll
Honor Roll (Top 5%)
75+
Achievement Roll
十年级及以下Grade 10 and below
60+
Sample Problems

2024 AMC12 真题参考示例（共 12 题）2024 AMC12 Sample Problems (12 questions)

以下为 Easy / Medium / Hard 难度参考示例题目，仅供练习参考，点击选项查看答案Sample reference problems by difficulty — click an option to check your answer

第 1 题Q1Easy多项式求值Polynomial
若 f(x) = 2x² - 7x + 1，求 f(2) 的值。If f(x) = 2x² - 7x + 1, find f(2).
A) -9
B) -7
C) -3
D) -1
E) -5

解题步骤Steps

1f(2) = 2×2² - 7×2 + 1
2= 2×4 - 14 + 1 = -5
正确答案：EAnswer: E代入后先乘方再乘除最后加减Substitute, then exponentiate, multiply/divide, add/subtract
第 3 题Q3Easy等差数列Arithmetic Seq
等差数列首项 a₁=3，公差 d=6，求第 10 项。Arithmetic sequence: a₁=3, d=6, find the 10-th term.
A) 57
B) 45
C) 51
D) 63
E) 69

解题步骤Steps

1aₙ = a₁ + (n-1)d
2a_10 = 3 + 9×6 = 57
正确答案：AAnswer: A通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)dGeneral term: aₙ=a₁+(n-1)d
第 5 题Q5Easy指数运算Exponent
若 2ˣ = 8，求 x 的值。If 2ˣ = 8, find x.
A) 1
B) 3
C) 2
D) 4
E) 5

解题步骤Steps

18 = 2^3
2故 x = 3
正确答案：BAnswer: B化为同底数幂，比较指数Convert to same base, compare exponents
第 7 题Q7Easy韦达定理Vieta's
方程 x² - 9x + 4 = 0 的两根之和是多少？Sum of roots of x² - 9x + 4 = 0?
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
E) 13

解题步骤Steps

1韦达定理：两根之和 = -(-9)/1 = 9
2两根之积 = 4
正确答案：CAnswer: Cx²-px+q=0 两根之和为 pFor x²-px+q=0, sum of roots = p
第 10 题Q10Medium整除计数Divisibility
从 1 到 34 的正整数中，有多少个能被 3 整除？How many integers from 1 to 34 are divisible by 3?
A) 7
B) 9
C) 13
D) 11
E) 15

解题步骤Steps

1⌊34 / 3⌋ = 11
正确答案：DAnswer: D能被 k 整除的个数 = ⌊n/k⌋Count divisible by k: ⌊n/k⌋
第 12 题Q12Medium多边形对角线Diagonals
正 7 边形共有多少条对角线？How many diagonals does a regular 7-gon have?
A) 8
B) 11
C) 17
D) 20
E) 14

解题步骤Steps

1对角线数 = n(n-3)/2
2= 7×4/2 = 14
正确答案：EAnswer: En 边形对角线公式 n(n-3)/2n-gon diagonals: n(n-3)/2
第 15 题Q15Medium组合数Combination
计算 C(10, 3) 的值。Compute C(10, 3).
A) 120
B) 94
C) 107
D) 133
E) 146

解题步骤Steps

1C(n,3) = n(n-1)(n-2)/6
2= 10×9×8/6 = 120
正确答案：AAnswer: A组合数公式 C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)Combination: C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)
第 17 题Q17Medium勾股定理Pythagorean
直角三角形两直角边长为 7 和 24，求斜边长。Right triangle legs 7 and 24, find the hypotenuse.
A) 21
B) 25
C) 23
D) 27
E) 29

解题步骤Steps

1c² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625
2c = √625 = 25
正确答案：BAnswer: B勾股定理 a²+b²=c²Pythagorean theorem a²+b²=c²
第 20 题Q20Hard模运算Modular Arith
求 3^4 除以 5 的余数。Find the remainder of 3^4 divided by 5.
A) 0
B) 2
C) 1
D) 3
E) 4

解题步骤Steps

1计算 3^4 mod 5
2由模运算性质逐步化简
3=1
正确答案：CAnswer: C模运算可逐步取余简化大指数Modular arithmetic simplifies large exponents
第 22 题Q22Hard配方法Completing Sq
函数 f(x) = x² - 4x + 7 的最小值是多少？Find the minimum of f(x) = x² - 4x + 7.
A) 1
B) 5
C) 7
D) 3
E) 9

解题步骤Steps

1配方：f(x) = (x - 2)² + 3
2当 x = 2 时取最小值 3
正确答案：DAnswer: D配方法是求二次函数最值的标准方法Completing the square for quadratic extrema
第 24 题Q24Hard容斥原理Inclusion-Excl
将 4 个不同球放入 3 个不同盒子，每盒至少 1 球，有多少种放法？4 distinct balls into 3 distinct boxes, each ≥1 ball, how many ways?
A) 26
B) 31
C) 41
D) 46
E) 36

解题步骤Steps

1总数 3^4 = 81
2减去有空盒: -C(3,1)×2^4 = -48
3加回两个空盒: +C(3,2)×1 = +3
4总计 81 - 48 + 3 = 36
正确答案：EAnswer: E容斥原理处理"至少"条件Inclusion-exclusion handles 'at least'
第 25 题Q25Hard余弦定理Law of Cosines
△ABC 中 a=5, b=6, cos C=1/2，求 c²。In △ABC, a=5, b=6, cos C=1/2, find c².
A) 31
B) 23
C) 27
D) 35
E) 39

解题步骤Steps

1余弦定理 c² = a² + b² - 2ab·cos C
2= 25 + 36 - 30 = 31
正确答案：AAnswer: A余弦定理是解三角形的核心Law of cosines is key for solving triangles
第 1 题Q1Easy多项式求值Polynomial
若 f(x) = 2x² - 9x + 1，求 f(2) 的值。If f(x) = 2x² - 9x + 1, find f(2).
A) -13
B) -11
C) -7
D) -5
E) -9

解题步骤Steps

1f(2) = 2×2² - 9×2 + 1
2= 2×4 - 18 + 1 = -9
正确答案：EAnswer: E代入后先乘方再乘除最后加减Substitute, then exponentiate, multiply/divide, add/subtract
第 3 题Q3Easy等差数列Arithmetic Seq
等差数列首项 a₁=5，公差 d=6，求第 10 项。Arithmetic sequence: a₁=5, d=6, find the 10-th term.
A) 59
B) 47
C) 53
D) 65
E) 71

解题步骤Steps

1aₙ = a₁ + (n-1)d
2a_10 = 5 + 9×6 = 59
正确答案：AAnswer: A通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)dGeneral term: aₙ=a₁+(n-1)d
第 5 题Q5Easy指数运算Exponent
若 2ˣ = 8，求 x 的值。If 2ˣ = 8, find x.
A) 1
B) 3
C) 2
D) 4
E) 5

解题步骤Steps

18 = 2^3
2故 x = 3
正确答案：BAnswer: B化为同底数幂，比较指数Convert to same base, compare exponents
第 7 题Q7Easy韦达定理Vieta's
方程 x² - 11x + 4 = 0 的两根之和是多少？Sum of roots of x² - 11x + 4 = 0?
A) 7
B) 9
C) 11
D) 13
E) 15

解题步骤Steps

1韦达定理：两根之和 = -(-11)/1 = 11
2两根之积 = 4
正确答案：CAnswer: Cx²-px+q=0 两根之和为 pFor x²-px+q=0, sum of roots = p
第 10 题Q10Medium整除计数Divisibility
从 1 到 36 的正整数中，有多少个能被 3 整除？How many integers from 1 to 36 are divisible by 3?
A) 8
B) 10
C) 14
D) 12
E) 16

解题步骤Steps

1⌊36 / 3⌋ = 12
正确答案：DAnswer: D能被 k 整除的个数 = ⌊n/k⌋Count divisible by k: ⌊n/k⌋
第 12 题Q12Medium多边形对角线Diagonals
正 9 边形共有多少条对角线？How many diagonals does a regular 9-gon have?
A) 21
B) 24
C) 30
D) 33
E) 27

解题步骤Steps

1对角线数 = n(n-3)/2
2= 9×6/2 = 27
正确答案：EAnswer: En 边形对角线公式 n(n-3)/2n-gon diagonals: n(n-3)/2
第 15 题Q15Medium组合数Combination
计算 C(12, 3) 的值。Compute C(12, 3).
A) 220
B) 174
C) 197
D) 243
E) 266

解题步骤Steps

1C(n,3) = n(n-1)(n-2)/6
2= 12×11×10/6 = 220
正确答案：AAnswer: A组合数公式 C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)Combination: C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)
第 17 题Q17Medium勾股定理Pythagorean
直角三角形两直角边长为 5 和 12，求斜边长。Right triangle legs 5 and 12, find the hypotenuse.
A) 9
B) 13
C) 11
D) 15
E) 17

解题步骤Steps

1c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
2c = √169 = 13
正确答案：BAnswer: B勾股定理 a²+b²=c²Pythagorean theorem a²+b²=c²
第 20 题Q20Hard模运算Modular Arith
求 3^4 除以 5 的余数。Find the remainder of 3^4 divided by 5.
A) 0
B) 2
C) 1
D) 3
E) 4

解题步骤Steps

1计算 3^4 mod 5
2由模运算性质逐步化简
3=1
正确答案：CAnswer: C模运算可逐步取余简化大指数Modular arithmetic simplifies large exponents
第 22 题Q22Hard配方法Completing Sq
函数 f(x) = x² - 4x + 9 的最小值是多少？Find the minimum of f(x) = x² - 4x + 9.
A) 1
B) 3
C) 7
D) 5
E) 9

解题步骤Steps

1配方：f(x) = (x - 2)² + 5
2当 x = 2 时取最小值 5
正确答案：DAnswer: D配方法是求二次函数最值的标准方法Completing the square for quadratic extrema
第 24 题Q24Hard容斥原理Inclusion-Excl
将 4 个不同球放入 3 个不同盒子，每盒至少 1 球，有多少种放法？4 distinct balls into 3 distinct boxes, each ≥1 ball, how many ways?
A) 26
B) 31
C) 41
D) 46
E) 36

解题步骤Steps

1总数 3^4 = 81
2减去有空盒: -C(3,1)×2^4 = -48
3加回两个空盒: +C(3,2)×1 = +3
4总计 81 - 48 + 3 = 36
正确答案：EAnswer: E容斥原理处理"至少"条件Inclusion-exclusion handles 'at least'
第 25 题Q25Hard余弦定理Law of Cosines
△ABC 中 a=7, b=6, cos C=1/2，求 c²。In △ABC, a=7, b=6, cos C=1/2, find c².
A) 43
B) 33
C) 38
D) 48
E) 53

解题步骤Steps

1余弦定理 c² = a² + b² - 2ab·cos C
2= 49 + 36 - 42 = 43
正确答案：AAnswer: A余弦定理是解三角形的核心Law of cosines is key for solving triangles

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202525题+解析25 Q & Sol. 202425题+解析25 Q & Sol. 202325题+解析25 Q & Sol. 202225题+解析25 Q & Sol. 202125题+解析25 Q & Sol. 202025题+解析25 Q & Sol. 201925题+解析25 Q & Sol. 201825题+解析25 Q & Sol. 201725题+解析25 Q & Sol. 201625题+解析25 Q & Sol. 201525题+解析25 Q & Sol. 201425题+解析25 Q & Sol. 201325题+解析25 Q & Sol. 201225题+解析25 Q & Sol. 201125题+解析25 Q & Sol. 201025题+解析25 Q & Sol. 200925题+解析25 Q & Sol. 200825题+解析25 Q & Sol. 200725题+解析25 Q & Sol. 200625题+解析25 Q & Sol. 200525题+解析25 Q & Sol. 200425题+解析25 Q & Sol. 200325题+解析25 Q & Sol. 200225题+解析25 Q & Sol. 200125题+解析25 Q & Sol. 200025题+解析25 Q & Sol.
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